Instrukcije iz matematike, kemije, fizike, biokemije, statistike ...: Riješeni zadatci iz matematike za srednje škole

nedjelja, 17. lipnja 2012.

Riješeni zadatci iz matematike za srednje škole

Koliki je tg(2a) ako je poznat cos(a)?

Zadatak zadan za domaću zadaću u 3. razredu gimnazije.

Koliki je ${\rm tg}\, 2\alpha$ ako je $\cos\alpha=\frac{2}{3}$ i $\alpha\in\langle\frac{3\pi}{2},2\pi\rangle$ ?

Rješenje.

Raspišemo tangens po definiciji, a potom i sinus i kosinus po formulama za dvostruke kutove:

$\displaystyle {\rm tg}\,2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\qquad (*)$

Vidimo sada da nam za izračunavanje izraza trebaju $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$ koji je zadan. Kako je $\alpha$ u četvrtom kvadrantu, to je $\sin\alpha$ negativan, tj.

$\displaystyle \sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}= -\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Uvrstimo sada zadani $\cos\alpha$ i izračunati $\sin\alpha$ u (*)

pa imamo dalje

$\displaystyle {\rm tg}\,2\alpha=\frac{2\cdot (-\frac{\sqrt{5}}{3})\cdot\frac{2}{3}}{(\frac{2}{3})^2-(-\frac{\sqrt{5}}{3})^2}=4\sqrt{5}$

Ako je zadano sin(x) + cos(x), koliko je tg(x) + ctg(x)?

Povremeno se na BUG-ovom forumu (http://www.bug.hr/forum/) ponavlja sljedeći zadatak: Ako je

$\sin x + \cos x = \frac{2}{3}$ , koliko je ${\rm tg}\, x + {\rm ctg}\, x$ ? Pogledajmo kako se rješava.

Kako nam je zadan zbroj sinusa i kosinusa, bilo bi korisno pokušati zbroj tangensa i kotangensa prikazati preko sinusa i kosinusa:

${\rm tg}\, x + {\rm ctg}\, x = \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$

Ostaje nam još nekako od zbroja sinusa i kosinusa dobiti umnožak. To se lako dobije kvadriranjem:

$\sin x + \cos x=\frac{2}{3}\qquad \big\slash^2$

$\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{4}{9}$

Temeljni trigonometrijski identitet nam kaže da je $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , te prebacivanjem te jedinice na desnu stranu i dijeljenjem s dva konačno dobijemo da je

$\sin x\cos x = -\frac{5}{18}$

što uvršteno u izraz za zbroj tangensa i kotangensa daje

${\rm tg}\, x + {\rm ctg}\, x = \displaystyle \frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{1}{-5/18}=-\frac{18}{5}$ .

Zadatak s Vieteovim formulama

Zadatak za zadaću 2. razreda gimnazije.

Ne rješavajući jednadžbu 3x^2-x+2=0

izračunaj $\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$ .

Rješenje.

Prvo malo sredimo izraz:

$\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\qquad (*)$

Vidimo da nam treba umnožak, kojega znamo kao jednu od Vieteovih formula, $x_1x_2 = \frac{c}{a}=\frac{2}{3}$ i x_1^2+x_2^2

, što ćemo lako izračunati iz druge Vieteove formule. Naime, kako je

odmah slijedi da je

$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = (-\frac{b}{a})^2-2\frac{c}{a}= (\frac{1}{3})^2-2\frac{2}{3}=-\frac{11}{9}$

Ako se sada obje izračunate vrijednosti uvrste u (*)

dobijemo

$\displaystyle \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-\frac{11}{9}}{\frac{2}{3}}=-\frac{11}{6}$ .

Zadatak s trigonometrijskim zapisom kompleksnog broja

Zapiši u trigonometrijskom obliku kompleksni broj

$\displaystyle z=\frac{i-1}{i(1-\cos\frac{2\pi}{5})+\sin\frac{2\pi}{5}}$

Rješenje.

Treba primjetiti da se u zadatku, kao argument trigonometrijskih funkcija, pojavljuje $\frac{2\pi}{5}=2\cdot\frac{\pi}{5}$ , odnosno da zadatak cilja na korištenje identiteta za dvostruki argument ili polovicu argumenta trigonometrijskih funkcija. Prvi lagano prepoznajemo:

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

dok drugi, nakon malo razmišljanja, lako izvedemo

$\displaystyle \sin x = \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}\quad\Rightarrow\quad 1-\cos 2x =2\sin^2 x$

Sada je

$\begin{array}{rcl} z &=& \displaystyle \frac{i-1}{i(1-\cos\frac{2\pi}{5})+\sin\frac{2\pi}{5}}\\[15pt] &=& \displaystyle \frac{\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})}{i(2\sin^2\frac{\pi}{5})+2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}}\\[15pt] &=& \displaystyle \frac{\sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4})}{2\sin\frac{\pi}{5}(\cos\frac{\pi}{5} + i\sin\frac{\pi}{5})}\\[15pt] &=& \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2\sin\frac{\pi}{5}}\left(\cos\frac{11\pi}{20}+i\sin\frac{11\pi}{20}\right) \end{array}$

Dakako, zadnji niz je napisan kao da znate pretvoriti kompleksni broj iz algebarskog u trigonometrijski oblik, te podijeliti kompleksne brojeve u trigonometrijskom zapisu.

http://www.instrukcije-poduka.com/

Instrukcije iz matematike, kemije, fizike, biokemije, statistike ...

Stranice

nedjelja, 17. lipnja 2012.

Riješeni zadatci iz matematike za srednje škole

O nama