Instrukcije iz matematike, kemije, fizike, biokemije, statistike ...: Riješeni zadatci iz matematike

nedjelja, 17. lipnja 2012.

Riješeni zadatci iz matematike - Građevinski fakultet Zagreb

Integral s logaritmom i korijenom

Zadatak s pismenog ispita iz Matematike 1 na Građevinskom fakultetu u Zagrebu održanog 4. 2. 2008.
Izračunajte integral

$\displaystyle \int\frac{\ln 2 +\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx.$

Rješenje.

Integral se lagano rješava metodom parcijalne integracije. Stavimo li

$\begin{array}{lcl} \displaystyle u=\ln 2 + \ln\sqrt{x} &\qquad & \displaystyle dv = \frac{dx}{\sqrt{x}}\\ \displaystyle du = \frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{2\sqrt{x}}=\frac{dx}{2x} & & v = \int\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x} \end{array}$

iz formule $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ imamo da je

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int\frac{\ln 2 +\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx &=& \displaystyle 2\sqrt{x}(\ln 2 + \ln\sqrt{x}) - \int 2\sqrt{x}\frac{dx}{2x}\\[15pt] &=& \displaystyle 2\sqrt{x}(\ln 2 + \ln\sqrt{x}) - 2\sqrt{x} + C\\[15pt] &=& \displaystyle 2\ln 2\cdot \sqrt{x} + 2\sqrt{x}\ln\sqrt{x}-2\sqrt{x} + C \end{array}$

http://www.instrukcije-poduka.com/